Парадоксально, но правда: 5 математических парадоксов

С давних времен ученые и философы заметили, что есть разные выводы. Было непонятно, как их понимать. Что интересно, они до сих пор неясны. Это не загадка, потому что ответа нет. Такие суждения называются парадоксами.

ВсеЗнаешь.ру выбрал для вас пятерку невероятных парадоксов, которые занимают умы математиков долгие годы — десятилетия, а то и века. Не верьте глазам своим: цифры не то, чем кажутся.

​1. Правдивый лжец

Правдивый лжец

Многие парадоксы возникли в древности, когда появилась наука под названием логика. Эта наука, в частности, изучает утверждения, которые могут быть либо правдивые (истинные), либо не правдивые (ложные).

Один из самых известных и древних парадоксов — «Парадокс лжеца». Допустим, некто утверждает: «То, что я сейчас говорю — ложь», или короче: «Я лгу». Его слова могут иметь лишь два смысла — либо утверждение истинное (это на самом деле так), либо ложное (на самом деле это не так). Пусть, к примеру, оно будет истинное, то есть, говоря «Я лгу», человек говорит то, что есть на самом деле, то есть правду. Но раз он говорит правду, то значит его утверждение «Я лгу» — ложно. Получается, что если утверждение — истинное, то это приводит к тому, что оно — ложно.

А теперь предположим, что это не так, и его утверждение — ложно. Значит, утверждая «Я лгу», он обманывает. Но тогда выходит, что он на самом деле лжёт, и его утверждение «Я лгу» — истинное. Теперь получается, что наше предположение о том, что утверждение — ложно, приводит к тому, что оно — истинное. Да, как ни крути, такое утверждение приходится признать и истинным, и ложным, причём одновременно. Парадокс, да и только!

На основе парадокса лжеца создано множество парадоксов, все они называются логическими. Вот, например, сказочному персонажу Буратино иногда приписывают интересное свойство: когда он говорил неправду, его нос удлинялся. Попробуй отгадать, что будет с носом Буратино, если он скажет «Мой нос сейчас удлинится»?

Давай рассуждать логично. Если Буратино сказал правду, тогда получается, что его нос не должен удлиняться. Но если нос не вырастет, выходит, Буратино солгал, и нос должен вырасти.

Теперь допустим, что Буратино солгал — тогда его нос вырастет. Но если нос вырастет, то значит, Буратино сказал правду, и его нос не должен расти! И здесь получается, что нос Буратино и должен, и не должен вырасти. Наверное, хитроумный сынишка папы Карло воспользовался этим: так и не решив задачу о парадоксе, его нос заклинило, и он больше не может удлиняться.

​2. Как побриться парикмахеру

Как побриться парикмахеру

Кроме логических, есть ещё парадоксы самоотносимости. Главный герой такого парадокса пытается применить его условия по отношению к самому себе. Вот какой парадокс придумал знаменитый британский философ и математик Бертран Рассел в начале ХХ века, и вовсе не для развлечения, а когда занимался одной из математических теорий.

Бертран Рассел

Бертран Рассел — выдающийся английский философ, логик и общественный деятель. Работа Рассела по математической логике и логике отношений стала крупным вкладом в науку о логике. В 1950 году ему была присуждена Нобелевская премия по литературе.

В одной деревне был один-единственный парикмахер-брадобрей. Для работы ему было установлено твёрдое правило: он должен брить только тех жителей деревни, которые не бреются сами. Казалось бы, нормальное правило. Вот только у самого брадобрея тоже растёт борода, и встал вопрос: может ли он сам себя побрить?

может ли он сам себя побрить

Получается, что может и… не может. Посуди сам:

если он себя не бреет, значит, согласно правилу, он себя брить может.

Но если он будет бриться сам, то опять же по правилу он не имеет права себя брить.

И хотя Рассел сформулировал этот парадокс строго математически, брадобрею от этого не легче: придётся ему ехать бриться в другую деревню.

3. Игры с бесконечностью

Игры с бесконечностью

Из школьных уроков математики всем известно, что такое натуральные числа: это 1, 2, 3, 4, 5… и так далее до бесконечности. Только само понятие бесконечности приводит к парадоксальным свойствам этих чисел.

Среди натуральных чисел, как известно, есть чётные. Может сложиться впечатление, что натуральных чисел больше, чем чётных. Вроде бы логично, ведь чётные числа — это только часть натуральных чисел.

Но математика утверждает, что чётных чисел столько же, сколько натуральных! Представь себе две строки чисел, в одной — все натуральные числа, а во второй — чётные, то есть числа, полученные умножением на два каждого числа первой строки (1×2 = 2, 2×2 = 4, 3×2 = 6, 4×2 = 8, 5×2 = 10…):

И если эти две строки с числами продолжать до бесконечности, то под каждым натуральным числом будет стоять чётное число. Выходит, что чётных чисел не меньше, чем натуральных.

На это удивительное свойство бесконечности обратил внимание в XVII веке знаменитый итальянский учёный Галилео Галилей, который одним из первых и сформулировал этот парадокс.

Галилео Галилей

Галилео Галилей
Итальянский физик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени. Он первым использовал телескоп для наблюдения небесных тел и сделал ряд выдающихся астрономических открытий. Галилей — основатель экспериментальной физики. Своими экспериментами он убедительно опроверг умозрительную метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики.

4. Никакое движение невозможно

Никакое движение невозможно

Парадоксы возникают не только в математике, но и в физике тоже, если смотреть на физические процессы слишком умозрительно. Ещё в древние времена учёные понимали, что органы чувств могут нас обманывать, и не всегда можно полагаться на них при изучении природы. Мы знаем, например, что не Солнце вращается вокруг Земли, а совсем наоборот. Или что молекулы существуют, хотя наши глаза их не видят.

Неудивительно, что у древних учёных при изучении движения тел разумом, а не зрением, возник интересный парадокс.

Человек движется из точки А в точку Б. Древний философ стал рассуждать по этому поводу так: чтобы пройти расстояние от А до Б человек должен пройти сначала половину этого расстояния. Ну, кто бы спорил, так и есть. Но дотошный философ не успокаивается, и утверждает: чтобы пройти половину расстояния, человек должен сначала пройти его четверть (то есть половину этой половины). Да, опять верно. А теперь — дальше рассуждает мыслитель — человеку сначала нужно пройти одну восьмую часть пути (то есть половину четверти). И опять приходится согласиться. И теперь, считает философ, опять делим этот отрезок пополам… Это рассуждение можем продолжать до бесконечности. И значит, человек не сможет сдвинуться с места — потому что так до бесконечности и будет пытаться преодолеть хотя бы один крохотный отрезок пути.

Значит, движения нет, потому что оно невозможно! Только всё в мире движется, невзирая на парадоксы. Так происходит потому, что движение — процесс непрерывный, его не следует представлять как бесконечно большое прохождение отрезков. И это было хорошо известно уже во времена Пушкина, помните, как сказано у поэта: «Движенья нет, сказал мудрец брадатый, другой смолчал и стал пред ним ходить, сильнее бы не мог он возразить; хвалили все ответ замысловатый…».

5. Парадокс или жизнь

Парадокс или жизнь

Существуют и такие парадоксы, которые только на первый взгляд кажутся таковыми, а на самом деле — никакие не парадоксы. Легенда гласит, что когда-то одного философа приговорили к смертной казни. Он сидел в тюрьме и ждал исполнения приговора. И вот, в воскресенье, к нему пришёл начальник тюрьмы, заявив, что его казнят по правилам, то есть: во-первых, казнь состоится в полдень в один из дней на следующей неделе; во-вторых, день казни будет для узника неожиданным.

Философ стал рассуждать. Казнить в воскресенье следующей недели его не могут, потому что казнить, как сказано, его должны на следующей неделе, а если его не казнят ни в один из дней с понедельника по субботу, то день казни не будет для него неожиданным. То есть дожив до вечера субботы следующей недели, философ точно будет знать, что его казнят завтра (в воскресенье). Эффект неожиданности пропадает. А это противоречит правилу. Значит, воскресенье не может быть днём казни.

Но тогда его не могут казнить и в субботу, потому что если его не казнят ни в один из дней с понедельника по пятницу, значит, казнь состоится в субботу (так как воскресенье уже исключается), и день казни опять не будет неожиданным.

Так, пойдём дальше. Пятница тоже исключается, по той же самой логике: суббота и воскресенье уже исключены, значит, если не казнят с понедельника по четверг, пятница не будет неожиданным днём казни.

Так он исключил и четверг, а затем и все дни недели, и пришёл к выводу, что по правилам, его не могут казнить ни в один из дней недели. Вот радость-то у него была, и радовался он до самого вторника, когда к нему неожиданно пришли палачи.

Жаль, конечно, что начальник тюрьмы не был так искушён в парадоксах, как несчастный философ, но дело не в этом, а в том, что приговорённый узник, вроде бы логично исключив все дни недели, сам сделал так, что любой из дней недели стал для него неожиданным днём казни! Осторожнее надо с парадоксами.

Поделись

  • Спасибо!